Sequências

Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos números reais.

Essas seqüências são separadas em dois tipos:

Seqüência finita é uma seqüência numérica na qual os elementos têm fim, como por exemplo, a seqüência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35.

Seqüência infinita é uma seqüência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a seqüência dos números naturais.

Para obtermos os elementos de uma seqüência é preciso ter uma lei de formação da seqüência.

Por exemplo: Determine os cinco primeiros elementos de uma seqüência tal que          an = 10ⁿ + 1, n N*

a1 = 10¹ + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 10² + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 10³ + 1 = 1000 + 1 = 1001
a4 = 10⁴ + 1 = 10000 + 1 = 10001
a5 = 10⁵ + 1 = 100000 + 1 = 100001

Portanto, a seqüência será (11, 101, 1001, 10001, 100001)

Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)

A PA definida pelo conjunto C= {2,5, 8, 11, 14} possui razão r=3, pois:

2+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=14

A PA definida pelo conjunto M= {1, 2, 3, 4, 5} possui razão r=1, pois:

1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5

A PA definida por M(3) = {3, 6, 9, 12, 15,18} possui razão r=3, pois:

6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3

A PA definida por M(4) = {0, 4, 8, 12,16} possui razão r=4, pois:

4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4

Triângulo de Pascal

Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Limites e seqüências

Imagine a seqüência:

0,3;0,33;0,333;0,3333.....0,333333

Ora, sabe-se que essa seqüência, quando tender ao infinito, será 1/3:

em uma notação matemática:

Classificação

Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:

1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva.

Exemplo:

(4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva)

2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa.

Exemplo:

(10, 7, 4, 1, –2, –5)→ r = – 3 < 0 (negativa)

3. Constantes – São aquelas cuja razão é nula.

Exemplo:

(6, 6, 6, 6) →r = 0 

Fórmula do Termo Central

Para obter o enésimo termo de uma P.A., basta somar (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo. Com isso, podemos achar qualquer termo dentro de uma PA pela expressão:

a_n = a₁ + (n - 1) . r

Em que:

an é o enésimo termo (termo geral);

a₁ é o primeiro termo;

n é o número de termos;

r é a razão.

Exemplo:

Qual é o quinto termo da P. A. (3, 6...)?

Solução:

a₁ = 3

r = 6 – 3 = 3

n = 5

a_n = a₁ + (n - 1) . r

a₂₀ = 3 + (5 – 1). 3

a₂₀ = 3 + 4.3

a₂₀ = 15

Progressão Aritmética (PA)

É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r (razão).

Exemplos:

a) (3, 5, 7, 9...)

5 = 3 + 2

7 = 5 + 2 →2 é a razão da progressão aritmética.

9 = 7 + 2 

b) (5, 10, 15, 20)

10 = 5 + 5

15 = 10 + 5 →5 é a razão da progressão aritmética.

20 = 15 + 5 

Fórmula da soma dos n termos de uma (PA) Finita

A soma dos termos de uma P. A. limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos. 

 

 


Em que:

a₁ é o primeiro termo;

a_n é o enésimo termo;

n é o número de termos;

S_n é a soma dos n termos. 


Aplicação

Achar a soma dos 8 primeiros termos da P. A. (4, 7...).

Solução:

No problema, temos a₁ = 4, r = 3 e n = 8.

1.º passo (cálculo de a₈)

a_n = a₁ + (n - 1) . r

a₈ = 4 + (8 – 1).3

a₈ = 25

 



 Progressão Geométrica (PG)

É toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

 Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)

Observamos que:

        4 = 2 x 2
        8 = 4 x 2
        16 = 8 x 2       

- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q); 

Representação Matemática:

q = a_n / a_n-1

      Classificação:

1.       (2,6,18,54,...)  -  P.G. Crescente ;

2.       (-2,-6,-18,-54,...)  -  P.G. Decrescente;

3.       (6,6,6,6,6,...)  -  P.G. Constante  -   q = 1 ;

4.       (-2, 6, -18, 54,...)  -  P.G. Alternante   -  q < 0 ;
  
Termo Geral da P.G.:

- a₂ = a₁ x q
- a₃ = a₂ x q  ou a₃ = a₁ x q² 

a_n = a₁ . q^n-1

Três números em P.G.:

x/q , x , x.q

 Interpolação Geométrica:

Exemplo:  1,__,__,__,__,243

  a₆ = a₁ .q⁵
   243= 1.q⁵
    q = 3

  Logo: (1,3,9,27,81,243);

Soma dos Termos de uma P.G. finita:

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-1

Soma dos Termos de uma P.G. infinita:

 Se expressões do tipo qⁿ quando: 0 <q<1 ou n ®¥ (tende a infinito);
     qⁿ = 0  (Aproximadamente)

    Sn = a₁ / 1-q

Exemplos:

1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG

Resolução:

n= 6                    

a₁ = 2                    

a₆ = 486

a₆ = a₁.q⁵

486 = 2 . q⁵

q = 3

 

Resposta: q = 3

2) Ache a progressão aritmética em que:

a₁ + a₂ + a₃ = 7

a₄ + a₅ + a₆ = 56

Resolução:

transformando, temos:

a₁ + a₁ .q + a₁. q² = 7     Þ a₁ (1 + q + q² ) = 7              I

a₄ + a₅ + a₆ = 56             Þ a₁.q³(1 + q + q² ) = 56         II

Dividindo-se II por I :

q³ = 8 Þ q = 2

de I vem:

a₁ (1 + 2 + 4) = 7 Þ a₁ = 1

Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

 

Resolução:

 

 0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ...   (uma PG)

a₁ = 0,31

q = 0,01

 

S_n = a₁ / 1-q

S_{n =} 0,31/1-0,01

S_n= 31/99

 

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99

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